数学笔记¶
Probability¶
Intro to Hypothesis Testing in Statistics - Hypothesis Testing Statistics Problems & Examples
Statistics - A Full University Course on Data Science Basics
Calculus¶
100 calculus limits (ft Riemann sum limits & epsilon-delta definition)
100 derivatives, extreme calculus 1 tutorial
Calculus 1 - Full College Course
111S103 Calculus (2) (Kwok-Wing Tsoi)
If \(F(x)\) is an antiderivative of \(f(x)\) on \([a, b]\), then the Newton-Leibniz formula is given by:
But what is the Fourier Transform? A visual introduction.
Taylor's Theorem - Introduction
Proof of Taylor's Theorem from Real Analysis
Taylor Series and Maclaurin Series - Calculus 2
中值定理¶
罗尔中值定理（英语：Rolle's theorem）
如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可微，并且 \(f(a) = f(b)\)，那么至少存在一个点 \(c \in (a, b)\)，使得 \(f'(c) = 0\)。
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）
如果函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续且在开区间 \((a, b)\) 内可微，则存在 \(c \in (a, b)\) 使得
柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）
如果函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续且在开区间 \((a, b)\) 内可微，且 \(g'(x) \neq 0\)，则存在 \(c \in (a, b)\) 使得
Stolz定理（Stolz's theorem）
假设在某个区间内，数列 \((a_n)\) 和 \((b_n)\) 满足：
- 对于 \(n\) 充分大的情况下， \(b_n\) 严格递增。
- \(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty\)。
- \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L\)（可以是一个实数或\(\infty\)）。
如果上述条件成立，那么有：
假设 \(f\) 是从集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的映射，可以表示为：
这表示 \(f\) 将集合 \(A\) 中的元素映射到集合 \(B\) 中的元素。
具体映射关系可以写成：
其中 \(x\) 是 \(A\) 的元素，\(y\) 是 \(B\) 的元素，且 \(y\) 是由 \(f\) 映射得到的。